Trong bài viết này, hanoizoo.com sẽ giúp bạn giải quyết bài toán thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật không nắp sao cho chi phí mua kính là thấp nhất. Đây là một bài toán ứng dụng thực tiễn rất phổ biến, đặc biệt hữu ích cho những ai đang có nhu cầu tự làm bể cá cảnh hoặc xây dựng các công trình liên quan đến bể chứa nước.
Có thể bạn quan tâm: Đèn Hồ Cá Mini: Hướng Dẫn Mua Sắm & Sử Dụng Hiệu Quả
Bài toán cụ thể
Đề bài: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 60cm, thể tích là 96000cm³. Người thợ dùng loại kính để làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m² và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
Bước 1: Xác định các thông số cơ bản
Biến đổi đơn vị
Đầu tiên, để dễ dàng tính toán, ta nên chuyển đổi các đơn vị về mét (m):
- Chiều cao (h): 60cm = 0,6m
- Thể tích (V): 96000cm³ = 0,096m³
Đặt ẩn
Gọi:
- x (m) là chiều dài của đáy bể.
- y (m) là chiều rộng của đáy bể.
- (Điều kiện: x > 0, y > 0)
Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa các biến
Từ thể tích
Công thức thể tích bể cá (hình hộp chữ nhật không nắp):
V = Diện tích đáy × Chiều cao = x × y × h
Thay số:
0,096 = x × y × 0,6
Suy ra:
x × y = 0,16
Từ đó ta có thể biểu diễn y theo x:
y = 0,16 / x
Bước 3: Tính diện tích các mặt kính cần mua
Có thể bạn quan tâm: Đặc Điểm Của Cá Chẽm: Sinh Học, Tập Tính Và Giá Trị Kinh Tế
Diện tích mặt đáy
Mặt đáy là một hình chữ nhật có kích thước x × y.
S_đáy = x × y = x × (0,16 / x) = 0,16 (m²)
Diện tích mặt bên (xung quanh)
Mặt bên gồm 4 mặt: 2 mặt có kích thước (x × h) và 2 mặt có kích thước (y × h).
S_xung quanh = 2 × x × h + 2 × y × h = 2h (x + y)
Thay h = 0,6 và y = 0,16/x:
S_xung quanh = 2 × 0,6 × (x + 0,16/x) = 1,2 × (x + 0,16/x) (m²)
Bước 4: Tính tổng chi phí
Có thể bạn quan tâm: Đèn Trang Trí Hồ Cá: Hướng Dẫn Chọn Loại Đèn Phù Hợp Cho Bể Cá Cảnh
Chi phí cho kính mặt đáy
Giá kính mặt đáy là 100.000 đồng/m².
Chi phí đáy = 0,16 × 100.000 = 16.000 (đồng)
Chi phí cho kính mặt bên
Giá kính mặt bên là 70.000 đồng/m².
Chi phí xung quanh = 1,2 × (x + 0,16/x) × 70.000 = 84.000 × (x + 0,16/x) (đồng)
Có thể bạn quan tâm: Đèn Trang Trí Bể Cá: 9 Loại Đèn Chất Lượng & Bí Quyết Lắp Đặt An Toàn
Tổng chi phí
Gọi f(x) là tổng chi phí cần tìm.
f(x) = 84.000 × (x + 0,16/x) + 16.000
Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x + 0,16/x với điều kiện x > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương a và b: (a + b) / 2 ≥ √(ab), dấu “=” xảy ra khi a = b.
Áp dụng cho biểu thức x + 0,16/x:
- Đặt a = x, b = 0,16/x.
- Ta có: x + 0,16/x ≥ 2 × √(x × 0,16/x) = 2 × √0,16 = 2 × 0,4 = 0,8
Dấu “=” xảy ra khi:
x = 0,16/x
⇔ x² = 0,16
⇔ x = 0,4 (vì x > 0)
Kết luận
- Chiều dài đáy (x): 0,4m = 40cm
- Chiều rộng đáy (y): 0,16 / 0,4 = 0,4m = 40cm
Khi đó đáy bể là một hình vuông có cạnh 40cm.
Chi phí thấp nhất là:
f(x) ≥ 84.000 × 0,8 + 16.000 = 67.200 + 16.000 = 83.200 (đồng)
Tổng kết
- Hình dạng bể cá tiết kiệm chi phí nhất: Là một hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông.
- Kích thước cụ thể:
- Chiều dài đáy: 40cm
- Chiều rộng đáy: 40cm
- Chiều cao: 60cm
- Chi phí thấp nhất: 83.200 đồng.
Bài toán này minh họa rất rõ ràng cách ứng dụng kiến thức toán học (cụ thể là bất đẳng thức Cô-si) vào thực tiễn để tối ưu hóa chi phí. Khi thiết kế bất kỳ công trình nào có hình dạng học, việc tìm ra kích thước tối ưu để tiết kiệm vật liệu là một yếu tố quan trọng giúp giảm chi phí đầu tư.
Để tìm hiểu thêm các kiến thức toán học ứng dụng trong đời sống, mời bạn tham khảo các bài viết khác tại hanoizoo.com.
Cập Nhật Lúc Tháng 12 31, 2025 by Thanh Thảo
