Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h), thì năng lượng tiêu hao của cá trong t (giờ) được tính theo công thức E(v) = c.v³.t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Có thể bạn quan tâm: Các Cách Làm Trong Nước Hồ Cá Koi Đơn Giản Hiệu Quả
Tổng quan về bài toán tối ưu hóa năng lượng
Bài toán này thuộc dạng bài toán ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong thực tế. Mục tiêu là tìm ra vận tốc bơi tối ưu của cá hồi khi nước đứng yên (v) sao cho năng lượng tiêu hao E để vượt qua quãng đường 300km là nhỏ nhất.
Các yếu tố cần xác định
- Quãng đường: 300 km
- Vận tốc dòng nước: 6 km/h
- Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên: v (km/h)
- Vận tốc bơi thực tế của cá (ngược dòng): v – 6 (km/h)
- Công thức năng lượng: E(v) = c.v³.t
Hướng dẫn chi tiết các bước giải
Có thể bạn quan tâm: Khi Nuôi Cá Thí Nghiệm Trong Hồ: Bài Toán Tối Ưu Hóa Khối Lượng Cá
Bước 1: Thiết lập công thức thời gian
Thời gian (t) để cá vượt qua quãng đường 300km khi bơi ngược dòng được tính theo công thức:
t = Quãng đường / Vận tốc thực tế
Do cá bơi ngược dòng, vận tốc thực tế là hiệu của vận tốc bơi khi nước đứng yên và vận tốc dòng nước.
t = 300 / (v – 6) (giờ)
Bước 2: Thiết lập hàm năng lượng theo vận tốc
Thay biểu thức thời gian vào công thức năng lượng:
E(v) = c.v³.t
E(v) = c.v³ . [300 / (v – 6)]
E(v) = 300c . [v³ / (v – 6)]
Bước 3: Tính đạo hàm của hàm năng lượng
Để tìm giá trị nhỏ nhất của E(v), ta cần tính đạo hàm bậc nhất E'(v) và tìm các giá trị v làm cho E'(v) = 0.
Có thể bạn quan tâm: Hồ Cá Sân Vườn Nhỏ: 65+ Mẫu Thiết Kế Đơn Giản, Đẹp Mắt Cho Mọi Không Gian
Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
E'(v) = 300c . [ (3v²(v-6) – v³.1) / (v-6)² ]
E'(v) = 300c . [ (3v³ – 18v² – v³) / (v-6)² ]
E'(v) = 300c . [ (2v³ – 18v²) / (v-6)² ]
E'(v) = 600c . [ (v²(v – 9)) / (v-6)² ]
Bước 4: Giải phương trình đạo hàm bằng 0
E'(v) = 0
600c . [ (v²(v – 9)) / (v-6)² ] = 0
Do 600c và (v-6)² khác 0, ta có:
v²(v – 9) = 0
Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm:
- v = 0 (loại vì vận tốc bơi không thể bằng 0 khi cá đang di chuyển)
- v = 9 (nhận)
Bước 5: Xét dấu đạo hàm và kết luận
Có thể bạn quan tâm: Hướng Dẫn Thiết Kế Hồ Cá Ngoài Trời Đơn Giản: Tự Tạo Không Gian Xanh Mát Cho Gia Đình
Dựa vào bảng biến thiên hoặc xét dấu của E'(v), ta thấy:
- Khi v < 9 (và v > 6 để cá có thể bơi ngược dòng), E'(v) < 0 (hàm số nghịch biến)
- Khi v > 9, E'(v) > 0 (hàm số đồng biến)
Do đó, hàm số E(v) đạt giá trị nhỏ nhất tại v = 9.
Kết quả cuối cùng
Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.
Ý nghĩa thực tiễn của kết quả
Kết quả này cho thấy cá hồi không nên bơi quá nhanh hay quá chậm khi vượt dòng nước. Bơi với vận tốc 9 km/h (so với nước đứng yên) là chiến lược tiết kiệm năng lượng tối ưu nhất. Điều này phản ánh sự thích nghi sinh học tuyệt vời của loài cá này trong quá trình di cư ngược dòng để sinh sản.
Các lưu ý quan trọng
- Điều kiện vận tốc: Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên phải lớn hơn vận tốc dòng nước (v > 6 km/h) thì cá mới có thể di chuyển ngược dòng.
- Tính hợp lý: Nghiệm v = 0 bị loại vì không phù hợp với thực tế là cá đang di chuyển.
- Mối quan hệ năng lượng – vận tốc: Năng lượng tiêu hao tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc (v³), điều này giải thích tại sao bơi quá nhanh sẽ làm tăng năng lượng tiêu hao một cách nhanh chóng.
Bạn có thể tìm hiểu thêm các kiến thức hữu ích khác tại hanoizoo.com.
Cập Nhật Lúc Tháng 1 2, 2026 by Thanh Thảo
